EL MOVIMIENTO DE MIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIISSSSS MANOS!!

                     EL MOVIMIENTO

                                                        ESQUEMA RESUMEN

CONCEPTOS FUNDAMENTALES:

• Cuando un cuerpo cambia de posición decimos que ha realizado unmovimiento. El cuerpo que se mueve se llama móvil.  

• Para estudiar un movimiento debemos conocer:

1.  El desplazamiento que sufre el móvil;
2. La trayectoria o camino que sigue el móvil;
3. La  velocidad a la que se desplaza el móvil.

 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado:

• Movimiento: Un cuerpo esta en movimiento cuando suposición varia con el tiempo con respecto a un punto que se considera fijo.

• Uniformemente Variado: Es aquel cuya rapidez varía (aumenta o disminuye). Una cantidad constante en cada unidad de tiempo, la aceleración representa la variación (aumento o disminución) de la rapidez un cada unidad de tiempo. Se caracteriza porque su trayectoria es una línea recta y el modulo de la velocidad varia proporcionalmente al tiempo. Por consiguiente, la aceleración normal es nula porque la velocidad varía uniformemente con el tiempo.

• Rectilíneo: La trayectoria es una línea recta y el módulo de la velocidad varía proporcionalmente al tiempo.

Este movimiento puede ser acelerado si el modulo de la velocidad aumenta a medida que transcurre el tiempo y retardado si el modulo de la velocidad disminuye el transcurso del tiempo.

Conceptos básicos que hay que tener claros, necesarios para el movimiento uniformemente variado (ELEMENTOS del M.U.V.):

• Móvil: Es todo cuerpo que es capaz de moverse.

• Trayectoria: Es la línea que describe un cuerpo es su desplazamiento.

• Velocidad: Es la variación de la posición de un cuerpo por unidad de tiempo.

• Velocidad-Media: Es la velocidad constante que hubiera tenido que llevar el móvil para recorrer la misma distancia y en el tiempo en que lo hizo con movimiento variado.

• Velocidad-Instantánea: Es la velocidad media en un intervalo muy corto.

• Aceleración: Es la variación que experimenta la rapidez por unidad de tiempo.

• Tiempo máximo: Es el tiempo que trascurre desde el momento en que un móvil inicia un movimiento uniformemente retardado, hasta que detiene.

• Desplazamiento máximo: Es el desplazamiento alcanzado por un móvil desde el momento que se inicia el movimiento uniformemente retardado hasta que se detiene

Formulario:

La ecuación de la velocidad de un móvil que se desplaza con un movimiento rectilíneo uniformemente variado con una aceleración a es:

v = v0 + a·t

V=Velocidad

Vo=Velocidad Inicia

a=Aceleracion

T=Tiempo

Vm= X

T

Vm=Velocidad Media

X=Desplazamiento

T=Tiempo

Ecuación para la aceleración:

a= Vf - Vo

t

Si el módulo de la velocidad pasó de un valor Vo (rapidez inicial) hasta otro Vf, (rapidez final) se llama V (incremento de rapidez) a la diferencia Vf-Vo

Si to es el instante inicial y t el instante final, se tendrá que t (incremento de tiempo) es:

t=t-to

Al dividir el incremento de la velocidad entre el incremento de tiempo obtenemos la ecuación a = V = Vf-Vo . Si t =0 nos queda:

t t-to

a= Vf-Vo

t

Si el móvil parte del reposo entonces Vo =0 y la ecuación se convierte en:

a= Vf

t

Esta ecuación se puede adoptar de dos formas:

·  Cuando el movimiento es uniformemente acelerado:

En este caso la Vf es mayor que la Vo, por lo que la diferencia Vf - Vo es positiva. Si esto ocurre, el cociente Vf - Vo será positivo, porque t es positiva siempre t

·  Cuando el movimiento es uniformemente retardado:

En este caso Vf es menor que Vo y la diferencia Vf - Vo es negativa. Como t siempre es positivo, el cociente Vf - Vo es negativo y por consiguiente la aseleración será negativa t

Ejercicios:

·  ¿Qué tiempo tarda un móvil en variar su rapidez de 8m/seg. a 15m/seg., sabiendo que tiene una aceleración constante de 0,7m/seg2?

·  Un móvil que se desplaza a 72 Km. /h, aplica los frenos durante 10 segundos. Si al final del frenado lleva una rapidez de 5 Km. /h, hallar la aceleración.

·  ¿Qué rapidez tendrá un móvil al cabo de 30 seg., si su aceleración es de 360m/seg2 y su rapidez inicial es de 60km/siendo el movimiento acelerado?

·  ¿Con que rapidez partió un móvil que se desplaza con M.U.A., sabiendo que al cabo de 18min lleva una rapidez de 20m/min., y su aceleración es de 0.5m/min2?

·  Un tren parte del reposo y al cabo de 90 seg. tiene una rapidez de 60km/h. ¿Cuál es su aceleración?

·  ¿Qué rapidez tendrá al cabo de 12 seg. un que a partir de una rapidez de 8m/seg. inicia un M.U.A., con una aceleración de 5m/seg2?

·  ¿Con que rapidez se desplazaba un móvil, que inicia un M.U.R., con una aceleración de 0.5m/seg2, la cual se mantiene durante 10 seg? La rapidez final de dicho tiempo es 20m/seg.

·  Un móvil que va a 50km/h aplica los frenos durante 15seg. Si al final de la frenada lleva una rapidez de 10km/h. calcula la aceleración.

·  Un móvil va a una velocidad de 10m/seg.. acelera a razón de 1.5m/seg2 durante 20seg. Calcula la rapidez final de dicho tiempo.

·  Un móvil en un momento dado lleva una aceleración de 0.5m/seg2 el cual mantiene durante 25seg. Si al final de esta aceleración lleva una rapidez de 100km/h. hallar la rapidez que llevaba al empezar la aceleración.

·  Calcular la aceleración necesaria para que un móvil pueda variar su rapidez de 20m/seg. a 68m/seg. en 1/4min.

·  Un móvil lleva una rapidez de 20m/seg. y una aceleración de 3m/seg2 durante 0.035h. hallar la velocidad final.

·  ¿Cuál es la aceleración de un móvil cuya velocidad varia de 20m/seg. a 40m/seg. en 5seg?

·  ¿Cuál es la aceleración de un móvil que en 4seg alcanza una rapidez de 20km/h, habiendo partido en reposo?

·  ¿Qué rapidez inicial debería tener un móvil cuya aceleración es de 4m/seg2 para alcanzar una rapidez de 180km/h en 10seg?

MOVIMIENTO DE TRAYECTORIA Y DESPLAZAMIENTO

 Se dice que un cuerpo está en movimiento cuando, en el transcurso del tiempo, cambia de posición respecto a otro que se considera fijo. Al cuerpo que se mueve se llama móvil.

Cuando un cuerpo se mueve desde un lugar a otro, puede seguir distintos caminos.

• Trayectoria es el camino que recorre un cuerpo en su movimiento.
• Desplazamiento es la distancia ( en línea recta) desde el punto inicial al punto final de la trayectoria.

CLASES DE MOVIMIENTO: RECTILÍNEO, UNIFORME...

• Movimiento rectilineo : Cuando el movil sigue una trayectoria recta.
• Movimiento circular : Cuando el movil sigue una trayectoria en forma de circunferencia.
• Movimiento uniforme :  Cuando la velocidad no varia en toda la trayectoria .
• Movimiento acelerado : Cuando la velocidad aumenta o disminuye.
• Uniforme acelerado : Cuando la aceleracion es constante.
• Acelerado : Cuando la aceleracion es variable. 

Movimiento rectilíneo y uniforme es el que realiza un móvil al desplazamiento por una trayectoria recta, recorriendo espacios iguales en tiempos iguales.

Sus características son:

• Velocidad constante, es decir, ni aumenta ni disminuye.
• No tiene aceleración.

La velocidad de un cuerpo con movimiento rectilíneo uniforme es igual al cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrerlo.

Fórmula de la velocidad: 

                                                   Velocidad = espacio/tiempo

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición

La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento

Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Velocidad

La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.

Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio

Ejercicio

Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t²+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.

Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

•  2 y 3 s.
•  2 y 2.1 s.
•  2 y 2.01 s.
•  2 y 2.001 s.
•  2 y 2.0001 s.
•  Calcula la velocidad en el instante t=2 s.

En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s)	x’ (m)	Δx=x'-x	Δt=t'-t	m/s
3	46	25	1	25
2.1	23.05	2.05	0.1	20.5
2.01	21.2005	0.2005	0.01	20.05
2.001	21.020005	0.020005	0.001	20.005
2.0001	21.00200005	0.00200005	0.0001	20.0005
...	...	...	...	...
			0	20

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Calculamos la velocidad en cualquier instante t

• La posición del móvil en el instante t es x=5t²+1
• La posición del móvil en el instante t+Dt es  x'=5(t+Dt)²+1=5t²+10tDt+5Dt²+1
• El desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt²
• La velocidad media <v> es

La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.

En el instante t=2 s, v=20 m/s

Aceleración

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad Dv=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Dt=t'-t.

La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Dt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t³-4t²+5 m. Hallar la expresión de

• La velocidad
• La aceleración del móvil en función del tiempo.

Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento

Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x₀ del móvil entre los instantes t₀ y t, mediante la integral definida.

El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t₀ y t.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta. Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la posición inicial x0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t³-4t² +5 m/s. Si en el instante t₀=2 s. está situado en x₀=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.

Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad

Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀ y t, a partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v₀ que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.

En la figura,  el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva a-t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior. Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el instante t0, podemos calcular la velocidad v en el instante t.

Ejemplo:

La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t² m/s². Sabiendo que en el instante t₀=3 s, la velocidad del móvil vale v₀=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son

Movimiento rectilíneo uniforme

Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando

o gráficamente, en la representación de v en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad v-v₀ entre los instantes t₀ y t, mediante integración, o gráficamente.

Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x₀ del móvil entre los instantes t₀ y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación  y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x₀

Interpretación geométrica de la derivada

El siguiente applet, nos puede ayudar a entender el concepto de derivada y la interpretación geométrica de la derivada

Se elige la función a representar en el control de selección titulado Función,  entre las siguientes:

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa la representación de la función elegida

Con el puntero del ratón se mueve el cuadrado de color azul, para seleccionar una abscisa t₀.

Se elige el aumento, 10, 100, ó 1000 en el control de selección titulado Aumento

• Cuando se elige 100 ó 1000, la representación gráfica de la función es casi un segmento rectilíneo. Se mide su pendiente con ayuda de la rejilla trazada sobre la representación gráfica
• Se calcula la derivada de la función en el punto de abscisa t₀ elegido
• Se comprueba si coinciden la medida de la pendiente y el valor de la derivada en t₀.

Ejemplo:

Elegimos la primera función y el punto t₀=3.009

Elegimos ampliación 1000.  La pendiente de la recta vale -1, y se muestra en la figura.

La derivada de dicha función es

para t₀=3.0 la derivada tiene vale -1.0

Integral definida

Dada la velocidad del móvil en función del tiempo, vamos a calcular el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀ y t.  En los casos en los que la velocidad es constante o varía linealmente con el tiempo, el desplazamiento se calcula fácilmente

Si v=35 m/s, el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀=0 y t=10 s es Δx=35·10=350 m

Si v=6·t, el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀=0 y t=10 s es el área del triángulo de color azul claro Δx=(60·10)/2=300 m

Si v=-8·t+60. el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀=0 y t=10 s es la suma de las áreas de dos triángulos:

• el de la izquierda tiene un área de (7.5·60)/2=225 
• el de la derecha tiene un área de (-20·2.5)/2=-25.

El desplazamiento es el área total Δx=225+(-25)=200 m

En otros casos, podemos calcular el desplazamiento aproximado, siguiendo el procedimiento que se muestra en la figura

En el instante t_i-1 la velocidad del móvil es v_i-1, en el instante t_i la velocidad del móvil es v_i. La velocidad media <v_i> en el intervalo de tiempo Δt_i=t_i-t_i-1 comprendido entre t_i-1 y t_i es

El desplazamiento del móvil durante el intervalo de tiempo Δt_i=t_i-t_i-1 comprendido entre t_i-1 y t_i es aproximadamente el área del rectángulo <v_i>·Δt_i. El desplazamiento total x-x₀ entre el instante inicialt₀, y el instante final t=t_n es, aproximadamente

donde n es el número de intervalos

Si v=-t²+14t+21 (m/s) y tomamos n=10 intervalos iguales, entre el instante t₀=0 y t=10 s el desplazamiento aproximado vale

x-x₀≈27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=577.5 m

Cuando el número de intervalos en los que se ha dividido un intervalo dado (t₀, t) es muy grande Δt_i→0. En el límite, el desplazamiento se expresa como

Si v=-t²+14t+21 (m/s), el desplazamiento entre el instante t₀=0 y t=10 s vale

Actividades

Se elige la función a representar en el control de selección titulado Función, entre las siguientes:

v=-t²+14t+21
v=-8t+60
v=35
v=2t²-12t-12

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se arrastra el puntero del ratón el pequeño cuadrado de color azul, y se pulsa el botón titulado Área.

Se arrastra hacia la derecha el el pequeño cuadrado de color azul, y se vuelve a pulsar el botón titulado Área y así sucesivamente, hasta un máximo de 15 veces.

Se representa y se calcula el área <v_i>·Δt_i de cada rectángulo que se suma al área calculada previamente.