MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es
una línea recta.
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador
que medirá la posición del móvil x en el instante t.
Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y
negativas si está a la izquierda del origen.
Posición
La posición x del móvil se puede relacionar
con el tiempo t mediante una función x=f(t).
Desplazamiento
Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se
encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el
móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha
desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t,
medido desde el instante t al instante t'.
La velocidad media entre los instantes t y t' está
definida por
Para determinar la velocidad en el instante t,
debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea
posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.
Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con
respecto del tiempo t.
Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos
el siguiente ejercicio
Ejercicio
Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que
su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1,
donde x se expresa en metros y t en segundos.
Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo
entre:
- 2
y 3 s.
- 2
y 2.1 s.
- 2
y 2.01 s.
- 2
y 2.001 s.
- 2 y 2.0001 s.
- Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
En el instante t=2 s, x=21 m
|
||||
t’ (s)
|
x’ (m)
|
Δx=x'-x
|
Δt=t'-t
|
m/s
|
3
|
46
|
25
|
1
|
25
|
2.1
|
23.05
|
2.05
|
0.1
|
20.5
|
2.01
|
21.2005
|
0.2005
|
0.01
|
20.05
|
2.001
|
21.020005
|
0.020005
|
0.001
|
20.005
|
2.0001
|
21.00200005
|
0.00200005
|
0.0001
|
20.0005
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
0
|
20
|
|||
Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0,
la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2
s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
Calculamos la velocidad en cualquier instante t
- La
posición del móvil en el instante t es x=5t2+1
- La
posición del móvil en el instante t+Dt es x'=5(t+Dt)2+1=5t2+10tDt+5Dt2+1
- El
desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt2
- La velocidad media <v> es
La velocidad en el instante t es el límite
de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero
La velocidad en un instante t se puede
calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto
del tiempo.
En el instante t=2 s, v=20 m/s
Aceleración
En general, la velocidad de un cuerpo es una función del
tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil
es v, y en el instante t' la velocidad del móvil
es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al
cociente entre el cambio de velocidad Dv=v'-v y el intervalo
de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Dt=t'-t.
La aceleración en el instante t es el
límite de la aceleración media cuando el intervalo Dt tiende a
cero, que es la definición de la derivada de v.
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5
m. Hallar la expresión de
- La
velocidad
- La
aceleración del móvil en función del tiempo.
Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el
desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t,
mediante la integral definida.
En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en
función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del
móvil entre los instantes t0 y t, el
segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.
Hallamos la posición x del móvil en el
instante t, sumando la posición inicial x0 al
desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o
mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.
|
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo
a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en
el instante t0=2 s. está situado en x0=4
m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier
instante.
Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de
velocidad
Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del
móvil entre los instantes t0 y t, a
partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t,
podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 que
experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la
aceleración en función del tiempo.
En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es
el área bajo la curva a-t, o el valor numérico de la integral
definida en la fórmula anterior.
Conociendo el cambio de velocidad v-v0,
y el valor inicial v0 en el instante t0,
podemos calcular la velocidad v en el instante t.
|
Ejemplo:
La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una
línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2.
Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del
móvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la
velocidad del móvil en cualquier instante
Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas
de movimiento rectilíneo son
Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es
constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del
móvil en el instante t lo podemos calcular integrando
o
gráficamente, en la representación de v en función de t.
Habitualmente, el instante inicial t0 se
toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan
Movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado
Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya
aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de
velocidad v-v0 entre los instantes t0 y t,
mediante integración, o gráficamente.
Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el
desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t,
gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando
Habitualmente, el instante inicial t0 se
toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado, las siguientes.
Despejando el tiempo t en la segunda
ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con
el desplazamiento x-x0
El siguiente applet, nos puede ayudar a entender el concepto
de derivada y la interpretación geométrica de la derivada
Se elige la función a representar en el control de selección
titulado Función, entre las siguientes:
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se observa la representación de la función elegida
Con el puntero del ratón se mueve el cuadrado de color azul,
para seleccionar una abscisa t0.
Se elige el aumento, 10, 100, ó 1000 en el control de
selección titulado Aumento
- Cuando
se elige 100 ó 1000, la representación gráfica de la función es casi un
segmento rectilíneo. Se mide su pendiente con ayuda de la rejilla trazada
sobre la representación gráfica
- Se
calcula la derivada de la función en el punto de abscisa t0 elegido
- Se
comprueba si coinciden la medida de la pendiente y el valor de la derivada
en t0.
Ejemplo:
Elegimos la primera función y el punto t0=3.009
Elegimos ampliación 1000. La pendiente de la recta
vale -1, y se muestra en la figura.
La derivada de dicha función es
para t0=3.0 la derivada tiene vale
-1.0
Dada
la velocidad del móvil en función del tiempo, vamos a calcular el
desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t. En
los casos en los que la velocidad es constante o varía linealmente con el
tiempo, el desplazamiento se calcula fácilmente
Si v=35
m/s, el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0
y t=10 s es Δx=35·10=350 m
Si v=6·t, el
desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10
s es el área del triángulo de color azul claro Δx=(60·10)/2=300 m
Si v=-8·t+60. el desplazamiento del móvil
entre los instantes t0=0 y t=10 s es la suma
de las áreas de dos triángulos:
- el
de la izquierda tiene un área de (7.5·60)/2=225
- el
de la derecha tiene un área de (-20·2.5)/2=-25.
El desplazamiento es el área total Δx=225+(-25)=200
m
|
En otros casos, podemos calcular el desplazamiento
aproximado, siguiendo el procedimiento que se muestra en la figura
En el instante ti-1 la velocidad
del móvil es vi-1, en el instante ti la
velocidad del móvil es vi. La velocidad media <vi>
en el intervalo de tiempo Δti=ti-ti-1 comprendido
entre ti-1 y ti es
El desplazamiento del móvil durante el intervalo de tiempo Δti=ti-ti-1 comprendido
entre ti-1 y ti es
aproximadamente el área del rectángulo <vi>·Δti.
El desplazamiento total x-x0 entre el instante
inicialt0, y el instante final t=tn es,
aproximadamente
donde n es el número de intervalos
Si v=-t2+14t+21 (m/s) y
tomamos n=10 intervalos iguales, entre el instante t0=0
y t=10 s el desplazamiento aproximado vale
Cuando el número de intervalos en los que se ha dividido un
intervalo dado (t0, t) es muy grande Δti→0.
En el límite, el desplazamiento se expresa como
Si v=-t2+14t+21 (m/s),
el desplazamiento entre el instante t0=0 y t=10
s vale
Actividades
Se elige la función a representar en el control de selección
titulado Función, entre las siguientes:
v=-t2+14t+21
v=-8t+60
v=35
v=2t2-12t-12
v=-8t+60
v=35
v=2t2-12t-12
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se arrastra el puntero del ratón el pequeño cuadrado de
color azul, y se pulsa el botón titulado Área.
Se arrastra hacia la derecha el el pequeño cuadrado de color
azul, y se vuelve a pulsar el botón titulado Área y así
sucesivamente, hasta un máximo de 15 veces.
Se representa y se calcula el área <vi>·Δti de
cada rectángulo que se suma al área calculada previamente.
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